"Начала" геометрии многомерных измерений

Глава 1 - Азы многомерной геометрии

"Бог действует по геометрическим линиям."
Платон

Вообще сама идея четвертого измерения не раз привлекала к себе внимание крайних мистиков. Любопытно, что происхождение этой идеи связано с Платоном (427-347 гг. до н.э.), самым крупным древнегреческим философом-идеалистом. Впервые же слова "n-мерное пространство" прозвучали в 1854 году в речи Бернгадра Римана (1826-66) при вступлении его на должность преподавателя Геттингенского университета.

В n-мерной геометрии, где n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..., геометрическим символом каждого измерения служат так называемые единичные геометрические фигуры. Так, геометрическим символом 0-мерного измерения является точка, 1-мерного измерения – отрезок прямой, 2-мерного измерения – квадрат, 3-мерного измерения – куб. Геометрический символ 4-мерного измерения получил удачное название "гиперкуб" [гипер- (от греч. hyper – над, сверх), часть сложных слов, обозначающая превышение нормы]. Также геометрический символ 4-мерного измерения имеет название тессеракт.

Занимаясь этой темой с 2004 года и создавая из трубочек и лески модели трехмерных проекций геометрических символов 4-мерного и 5-мерного измерений, я назвала их соответственно: трехмерная проекция четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) и трехмерная проекция пятимерного гиперкуба (3ПГК-5), то есть гиперкуб любого n-мерного измерения удобно называть "гиперкуб-n" (ГК-n), - сразу понятно о гиперкубе какого измерения идет речь. Незачем усложнять геометрию, придумывая для гиперкубов пятого, шестого и т.д. измерений новые специальные названия.

Да, конечно, представить себе именно гиперкуб-4, гиперкуб-5 и т.д. в их родном n-мерном пространстве трудно, но осмыслить и определить трехмерные проекции гиперкубов высших измерений и их геометрические особенности – дело вполне реальное. Из трубочек и лески мною уже созданы модели трехмерных проекций гиперкубов 4-го, 5-го и 6-го измерений. В случае надобности можно создавать модели трехмерных проекций гиперкубов и более высоких измерений.

Осмысливать геометрические особенности проекций гиперкубов-n намного легче не по чертежам, а по моделям их трехмерных проекций.

В работе [4] выведены алгебраические формулы для определения количества единичных геометрических элементов, составляющих n-мерные гиперкубы и их проекции (вершин, ребер, граней, кубов). Эти данные приведены в таблице 1.1.


Таблица 1.1

А вот теперь, для начала предлагаю вам чертеж (рис.1.1), где на одной странице представлены во фронтальной проекции геометрические символы семи измерений. Это наиболее простой и достаточно удобный способ черчения трехмерных проекций n-мерных гиперкубов. Более того, эта фронтальная проекция важна тем, что именно эта проекция очень наглядно подскажет любому профессиональному геометру, как начертить трехмерные проекции гиперкубов и следующих измерений: седьмого (3ПГК-7), восьмого (3ПГК-8), девятого (3ПГК-9) и т.д.

Давайте осмысливать рис. 1.1.

Смотрите, в какое "интересное", "особое" положение поставлены куб, квадрат и отрезок прямой. Евклидова геометрия определила этим геометрическим фигурам более «устойчивое» положение. Многомерная же геометрия требует рассматривать положение этих геометрических символов измерений именно в такой позиции – для определения "h" в проекциях геометрических символов каждого (абсолютно любого) измерения.

Именно эта фронтальная проекция дает возможность определить схему (принцип, закон) строения проекций геометрических символов любого измерения. Именно эта фронтальная проекция дает возможность схематично провести через вершины проекций всех n-мерных геометрических символов параллельные плоскости (Р), которые на рис. 1.1 изображены в виде пунктирных линий (прямых). Каждая пунктирная прямая (плоскость Р) пронумерована римскими цифрами. На рис. 1.1. семь таких плоскостей: PI, PII, PIII, PIV, PV, PVI и PVII, причем, что очень важно, эти параллельные между плоскости отстоят друг от друга на равную величину "h".

Величину "h" назовем "ярусом". Количество этих "ярусов" в n-мерном геометрическом символе соответствует числовому значению именно этой мерности, т.е. числу n.


Рис. 1.1

В трехмерный проекциях всех n-мерных гиперкубов ни одна вершина не может находиться вне этих плоскостей.

Для осмысления трехмерных проекций гиперкубов-n эти плоскости очень важны – эти плоскости делят фигуры символов всех n-мерных измерений на хорошо известные геометрические фигуры: пирамиды, прямоугольные призмы, скошенные призмы, параллелепипеды и др. А это значит, что через вершины трехмерных проекций гиперкубо-n можно вписать разные хорошо известные геометрические фигуры, и с их помощью определить (рассчивать) все геометрические параметры трехмерных проекции гиперкубов-n.

Для пояснения вышесказанного сначала рассмотрим эту особенность плоскостей на примере трехмерного куба.

Поставим куб в "интересное" положение, но для наглядности слегка изменим ракурс. (рис. 1.2).


Рис. 1.2

а) Куб ABCDEFGH, через вершины которого проведены параллельные плоскости PI, PII, PIII, PIV;

б) Верхняя треугольная пирамида ABFD, где ребра основания BFD равны диагонали грани куба;

в) Скошенная треугольная призма. Ее основания ΔBFD и ΔCEG, а ее 6 боковых граней-треугольников образованы шестью ребрами куба;

г) Нижняя треугольная пирамида HCEG, геометрически равная верхней пирамиде ABFD.

В рис. 1.2 куб "поставлен" на одну из его больших диагоналей – AH. Но куб имеет четыре больших диагонали: AH, BE, CF и DG, и если мы вместо диагонали AH используем любую из оставшихся диагоналей, это не изменит геометрического смысла рис. 1.2. С таким же успехом мы можем поменять вершины A и H. Это может говорить о том, что в рис. 1.2 в первой плоскости (PI) может оказаться любая из восьми вершин куба ABCDEFGH, что не изменит геометрического (но не физического!) смысла рис. 1.2.

Итак, в первой плоскости (PI) может оказаться любая из восьми вершин куба.

В трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) таких вершин шесть. А вот в трехмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) и во всех (!) последующих 3ПГК-6, 3ПГК-7,..., 3ПГК-n таких вершин только две. Об этом будет рассказано в следующих главах.

Продолжим осмысливать рис 1.1. Вы видите в чертеже фронтальной проекции трехмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5) две вершины, обведенные кружочками. В этих двух вершинах сходятся по девять ребер, во всех остальных вершинах – по пять. Что это такое? Это – визуальное совмещение вершин, а так как эти совмещенные на чертеже вершины соединены между собой и ребром, то это значит, что в данном чертеже 3ПГК-5 совмещенными оказались не только две пары вершин, но и два ребра. Следовательно, если вы подсчитаете количество вершин на этом чертеже 3ПГК-5, то их окажется 30, а не 32, и количество ребер на чертеже 79, а не 80.

А вот чертеж той же трехмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5), и тоже во фронтальной проекции, но только со слегка смещенным ракурсом (рис. 1.3).


Рис. 1.3

На этом чертеже нет ни одного совмещения вершин, то есть данный чертеж 3ПГК-5 содержит все 32 вершины и 80 ребер.

Давайте рассмотрим ситуацию совмещения вершин и ребер на примере трехмерного куба ABCDEFGH (рис. 1.4).


Рис. 1.4

На рис.1.4 куб ABCDEFGH представлен в четырех проекциях: а), б), в), г). Комментировать рис. 1.4 излишне, - геометру легко понять, почему некоторые вершины обведены кружочками, и что из этого следует.

Итак, в зависимости от выбранного ракурса изображения в чертежах трехмерных проекций гиперкубов-n могут совместиться и вершины, и ребра, и грани, и кубы (например, 3ПГК-6 на рис. 1.1). Все это происходит не хаотично, а потому, что все эти геометрические фигуры (3ПГК-n) идеально правильны по своей сути.

Прошу учесть также, что начертить "по клеткам", как это сделано здесь, абсолютно точно, без искажений возможно лишь трехмерную проекцию четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4). Начертить "по клеткам" трехмерные проекции гиперкубов более высоких измерений (3ПГК-5, 3ПГК-6, 3ПГК-7 и т.д.) возможно лишь с большей или меньшей погрешностью по той простой причине, что на листе бумаги "в клетку" через вершины клеток невозможно начертить правильные пятиугольник, шестиугольник, семиугольник и т.д. Компьютерная графика была бы здесь более уместна.