Камерон Браун. Невозможные фракталы

3. Треугольные фракталы

На рис. 1 (по центру и справа) показаны эволюционное развитие двух широко известных фракталов – снежинки Коха и салфетки Серпинского. В снежинке изменяется периметр исходной формы, а в салфетке Серпинского рекурсивно вырезаются внутренние части фигуры.

Рис. 1. Трибар, снежинка Коха и салфетка Серпинского

Рис. 2 показывает развитие трибара в вид невозможной снежинки. Первая итерация может быть полностью построена при помощи элементов одного типа, остроугольного генератора (справа сверху), повторенного шесть раз в цикле с соответствующим окрашиванием. Для следующих итераций требуются комбинации остроугольных и тупоугольных генераторов.

Рис. 2. Две итерации невозможной снежинки (с остроугольными и тупоугольными генераторами)

На рис. 3 показаны альтернативная версия эволюции снежинки, которая сохраняет родительские треугольники из предыдущих поколений и использует их в качестве основы, на которую последовательно устанавливаются новые распорки. Хотя, этот фрактал не является традиционной снежинкой, а окончательный вид более насыщен деталями, чем предыдущая фигура, этот вариант фрактала требует для построения только один тип генераторов (справа), а распорки повышают неоднозначность перспективы, усиливая эффект невозможности.

Рис. 3. Альтернативная версия дизайна снежинки, который усиливает зрительный эффект (с генератором)

В обоих случаях толщина всех брусков фигуры одинаково уменьшается с каждой следующей итерацией для сохранения единообразия фигуры. К сожалению, эффект иллюзии уменьшается с каждой итерацией, так как становится сложнее различать отдельные элементы.

Обратимся теперь к салфетке Серпинского. На рис. 4 показан невозможный объект похожий на салфетку, который может быть получен последовательным копированием трибаров в меньших масштабах. Отметим, что бруски в каждом из трибаров имеют внутреннюю и внешнюю сторону, и у каждого дочернего треугольника цвета сторон должны совпадать с цветами сторон родительского треугольника, с которыми они соединяются. Это правило выполняется для первой итерации, в которой дочерний треугольник соединяется с внешними сторонами родительского треугольника (рис. 4, слева), и для второй итерации, в которой каждый дочерний треугольник соединяется с внутренними сторонами родительского треугольника (рис. 4, посередине). Но для следующих итераций выполнение этого правила раскрашивания становится проблематичным, так как требуется соединить дочерние треугольники с двумя внутренними гранями и одной внешней (или наоборот). Данная проблема не возникает, если в каждой следующей итерации формировать только центральный дочерний треугольник (рис. 4, справа), который остается раскрашенным правильно при любом количестве итераций, однако данный процесс не является стандартным рекурсивным методом построения салфетки Серпинского.

Рис. 4. Невозможные салфетки.