Камерон Браун. Невозможные фракталы
6. Кубы
На рис. 8. (слева) изображен невозможный мультибар в форме куба подобный тому, который изображен на знаменитой литографии Эшера "Бельведер" [5]. Отметим, что данная фигура нарушает второе правило построения мультибаров, так как содержит бруски с окрашенными в один и тот же цвет сторонами в месте пересечения. Это является проблемой при описании любой неплоской формы, так как два цвета верхнего бруска и два цвета нижнего бруска должны быть взаимоисключающими, так что для данной фигуры необходимо четыре цвета для раскрашивания.
На рис. 8 также изображена губка Менгера, которая является трехмерным эквивалентом множества Кантора. Посередине показана первая итерация, а справа – третья итерация. Хотя невозможный куб топологически эквивалентен первой итерации губки Менгера (за исключением невозможного пересечения), его достаточно сложно применить для следующих итераций. Однако идея кубического деления пространства предлагает другой метод для построениея невозможных объектов, который часто использовался Реутерсвардом [3]. Данный метод запечатлен в его работе "Opus 2B" (Рис. 9, слева сверху), в которой три накладывающихся друг на друга куба формируют зрительное противоречие.
На рис. 9 (слева снизу) изображен трибар в кубическом дизайне. Данный дизайн, в частности, интересен тем, что ни один из накладывающихся друг на друга кубиков не формирует локального противоречия (как в "Opus 2B"), в то время как, в общем, фигура является трибаром. Данный дизайн появился до открытия трибара, и был первой из всего множества фигур, созданных Реутерсвардом. Следовательно, он стал первым примером невозможного объекта, созданного специально как иллюзия. Существуют примеры невозможных фигур в изобразительном искусстве, созданные порядка 1000 лет назад, еще до изобретения классической перспективы [3]. Однако, в основном, они проявляются в качестве "исправлений", введенных автором для решения недостатков композиции (например, колонна, которую если нарисованной по правилам перспективы, перекроет важную фигуру на переднем плане), а не для осознанного изображения неоднозначного объекта.
На рис 9. (посередине сверху) показан квадрат, собранный из кубиков, и на том же рис. 9 (посередине снизу) – куб, собранный из кубиков с добавлением локальных противоречий. Можно заметить, что данные фигуры содержат зрительные иллюзии, но выглядят не очень изящно. Подобный способ создания фигур из кубиков сбивает с толку восприятие, и данный эффект может стать еще сильнее, если сами кубики рекурсивно разбить на еще меньшие кубики. Но данный подход непригоден для построения фракталов.
На рис. 9 (справа) изображены ключевые элементы с картины Моники Буш "Cube in blue" (1976) [3]. Это очень удачная реализация невозможного куба в виде отдельных кубиков, использующая особенность того, что перпендикулярные ребра куба разделяют кубики одного и того же цвета в месте пересечения. Фигура является неоднозначной и противоречивой. Данный дизайн также топологически схож с первой итерацией губки Менгера и выглядит подающей надежды для дальнейшего рекурсивного деления для получения фрактала подобного губке. К сожалению, дальнейшее деление станет слишком запутанным, так как предполагаемые ребра куба на каждом следующем уровне теряются, разрушая зрительный эффект.
В данном случае достаточно сложно достигнуть невозможности. Однако, на рис. 10 показан другой вид иллюзии перспективы, основанный на использовании множества параллельных плоскостей, который может быть рекурсивно применено к кубу, не затрагивая саму иллюзию. На рис. 10 (слева) базовый дизайн из работы Бруно Эрнста 1984 года "Сборник невозможных фигур". Заметим, что версия Эрнста [3] имеет более художественное исполнение в изображении перспективы и текстур. Первая вариация (посередине) показывает, как данный эффект может быть усилен с использованием округлых арок, позволяя расширить вид внутренней части стены. Вторая вариация (справа) демонстрирует, что аналогичный эффект может быть достигнут вообще без использования арок.