М.К.Эшер: Больше математики, чем кажется на первый взгляд
Сара Робинсон (Sara Robinson)
SIAM News, Number 8, October 2002.
|
| М.К. Эшер "Картинная галерея". Заинтересовавшись загадочным белым пятном в середине литографии, Хендрик Ленстра занялся изучением того, какую проблему художник не смог решить. |
Еще тинейджером профессор теории чисел Хендрик Ленстра (Hendrik Lenstra) был очарован математическими сюжетами картин М.К. Эшера. Несколькими годами позже, однако, он утратил к ним интерес, найдя математику "более захватывающей".
Сегодня Ленстра снова является поклонником Эшера. В его коллекции содержатся более дюжины книг о художнике, две документальных видеозаписи и набор галстуков с картинами Эшера, а также находится в процессе получения оригинальной гравюры "Картинная галерея" (Printgallery) Эшера, к которой в последнее время он испытывает особенную любовь.
"Я пришел к тому, что в этой картине гораздо больше математики, чем кажется на первый взгляд" - говорит Ленстра, который является одновременно профессором в Университете Калифорнии в Беркли и в Университете Лейдена (Голландия).
Используя теорию эллиптических кривых Ленстра показал, что искривление сцены с пристанью, изображенной на картине "Картинная галерея", может быть описано с помощью комплексной экспоненциальной функции. Это необычное открытие было отмечено в газете New York Times, на голландском телевидении и некоторых голландских газетах.
Таинственное белое пятно
Проект профессора Ленстры начался два с половиной года назад во время перелета самолетом Continental Airlines из Нью-Джерси в Амстредам. Листая журнал авиакомпании, Ленстра наткнулся на репродукцию картины Эшера "Картинная Галерея" и был удивлен, обнаружив в ней изъян.
На литографии изображен вид сквозь арочную оконную раму на юношу, смотрящего на картину, висящую на стене в галерее. На этой картине нарисованы здания в средиземноморском стиле вдоль линии причала, которые становятся все больше и больше, расширяясь вправо, изгибась так, что захватывают галерею и юношу в ней. Картина последовательно увеличивается в масштабе, если рассматривать ее по часовой стрелке вокруг центра. В то же время линии картины изгибаются так, будто они разворачиваются из центра картины подобно манжете рукава.
Но это еще не все, обратите внимание на большое белое пятно в центре, которое Эшер оставил незаполненным. Ленстра был огорчен наличием этого недостатка в картине, которая в остальном была вполне последовательна. За многие часы проведенные в полете он сформулировал два точных математических вопроса.
"Первое," - говорит профессор, - "я удивился, что когда пытаешься мысленно продлить дуги и линии, возникает неразрешимая математическая проблема." Второй вопрос: "Какова же общая математическая структура этой картины?"
Читатель может быть удивлен тем, что Ленстра должен был ожидать от литографии Эшера обязательного наличия простой и непротиворечивой математической структуры. Хотя Эшер был очарован визуальными математическими концепциями, он имел математическое образование на уровне средней школы и слабо интересовался формальной стороной математики. Но для Ленстры с самого первого момента было ясно, что математика присутствует в этой картине. "Когда вы смотрите на "Картинную галерею", совершенно ясно, что использована какая-то трансформация." - говорит он - "а трансформации - это раздел математики, и было очень интересно ответить на вопрос, каким образом я, как математик, могут сконструировать эту картиную."
Через несколько дней после возвращения в Голландию Ленстра предпринял первый шаг к решению поставленных вопросов. Он обратился к своему экземпляру книги "Магическое зеркало М.К. Эщера" (Magic Mirror of M.C. Escher), написанной Хансом де Рийком (Hans de Rijk) по псевдонимом Бруно Эрнст (Bruno Ernst). Де Рийк был другом Эшера и посещал его несколько раз в период создания "Картинной галереи". В книге, частично написанной и откорректированной Эшером, де Рийк детально описал метод, которым Эшер создавал картину.
Как Эшеру это удалось?
|
| Искаженная сетка Эшера. Художник наложил неискаженную сетку на исходную сцену, а затем перенес изображение элемент за элементом на искаженную сетку. |
Эффект, который Эшер пытался достигнуть в этой картине, де Рийк объяснил как последовательное круговое распространение, "объекты в замкнутом круговом образовании не имеют ни начала ни конца." Для создания точного каркаса картины Эшер сначала изобразил круговое распространение в виде сетки, делая размеры квадратов увеличивающимися в 256 раз по мере движения вокруг центра картины. Далее, начав с изображения обычной картины с домами на причале, помещенной в галерею, он наложил прямоугольную сетку на изображение и переносил картину с неискаженной сетки на искаженную квадрат за квадратом.
Видя искаженную сетку, изображенную в книге де Рийка, Ленстра смог представить как должна была выглядеть неискаженная сетка. Он заметил, что движение по часовой стрелке по искаженной сетке вокруг центра не неискаженной сетке соответствует движению вдоль спирали, напоминающей квадрат с постоянно уменьшающимися сторонами, к точке в которой все на картине будет уменьшено в 256 раз. Так Ленстра сделал вывод, что исходная картина Эшера должна обладать свойством сжатия самой себя, повторяя собственное изображение уменьшенным в 256 раз. Говоря математическим языком, неискаженная картина является периодической с мультипликативным периодом 256.
Ленстра назвал неискаженное изображение "Droste picture" по названию голландского бренда какао Droste, на коробке которого изображена женщина держащая на подносе чайшку и коробку с какао, но которых нарисована такая же женщина с чайшкой и коробкой и т.д. Неискаженное изображение Эшера должно обладать таким же свойством.
Продолжая рассматривать искаженную сетку, Ленстра заметил, что движение против часовой стрелки по квадратному пути вокруг центра неискаженной сетки должно стать сжимающейся спиралью на картине Эшера, заканчивающейся по углом немного меньшим чем 180° относительно точки старта. Это движение соответствует движению на постоянное количество квадратов по искаженной сетке (вверх, потом влево, потом вниз, потом направо), обращаясь вокруг центра.
Это движение создает спираль, конечные точки которой на неискаженной картине одинаковы и они могут быть идентифицированы на картине Эшера. Таким образом картина Эшера обладает свойством поворота и масштабирования, давая при этом ту же самую картину. Математическим языком, картина Эшера также является периодической, но с периодом выражаемым комплексным числом g, а не действительным, как в случае с неискаженной картиной.
С другой стороны неискаженная картина может рассматриваться как функция f от ненулевого комплексного аргумента, выражающей черные и белые цвета со свойством f(256z) = f(z), а картина Эшера может рассматриваться как функция g от ненулевого комплексного аргумента со свойством g(gz) = g(z).
Проблема реализации функции может быть решена при ответе на вопрос, что же находится в центре картины: уменьшенная версия той же самой сцены перевернутая вверх ногами и содержащая в себе ту же самую сцена и т.д., исчезая в начале координат, находящемся в центре рисунка. Но Ленстра хотел найти точное значение величины g, комплексного периода картины Эшера. Для этого мы должны найти математическую формулу для создания такой картины.
Работая в этом направлении, Ленстра сделал ряд грубых измерений поворота и сжатия сетки и обнаружил, что реальная часть величины g лежит в пределах от -16 до -19, а мнимая – между 5 и 6. Эти результаты казались лучшим из того, что он мог сделать до тех пор, пока он не прочитал ключевой фразы в описании де Рийка.
Де Рийк объясняет, что первой попыткой Эшера было использование прямых линий расходившихся из центра. Он не был удовлетворен такой моделью, потому что дома и окна и картине получались чрезмерно изогнутыми. Тогда Эшер искривил линии сетки так, чтобы "исходные маленькие квадраты могли сохранить вид квадратов".
После прочтения этого предложения Ленстру постигло озарение. "Теперь я знал, что происходит на самом деле," - говорит он. - "Я знал, что картина Эшера должна быть конформной." Тем читателям, которые вспоминали о конфиормности в далеком прошлом (или для тех кто пропустил обзор Филипа Девиса Indra's Pearls в сентябрьском выпуске SIAM News) напомним, что конформной картой, называется такая карта, которая сохраняет углы в локальных узлах. Любая аналитическая функция на комплексной плоскости является конформной в каждой точке, где ее производная отлична от нуля.
Зная, что карта является конфиормной, Ленстра теперь мог применить теорию эллиптических кривых для нахождения точного значения величины g. Вот как он это сделал:
Так как картина Эшера имеет период g, то ее коэффициент равен C*/gz. Аналогично для неискаженной картины коэффициент равен C*/256z. Применяя логарифмы преобразовываем операции умножения в знаменателях дробей в операции сложения, получая для первой формулы C/Z×log g + Z×2pi, а для второй C/Z×log 256 + Z×2pi, где слагаемое 2pi появилось из-за периодичности экспоненциальной функции на комплексной плоскости. Каждая из этих структур, комплексные числа которых взятые по модулю характеризуют размер ячейки, представляет собой эллиптическую кривую.
Ключевая фраза де Рийка предполагает, что эти две эллиптические кривые конформно изоморфны, а это означает, что накладывающиеся друг на друга ячейки должны иметь одинаковый по модулю угол поворота и масштаб.
Это предположение вместе с грубыми измерениями Ленстры позволили Ленстре точно вычислить значение g просто рисуя сетки и анализируя разные варианты.
"Я нахожу это удивительным, что оказалось только одно решение" - говорит Барт де Смит (Bart de Smit) коллега Ленстры по университете, руководивший проектом Эшера.
Визуальное представление
Получив значение g и, таким образом, зная закон трансформации неискаженного изображения в картину Эшера, Ленстра хотел увидеть визальный результат своих достижений. Надесь, что его формула может быть использована для написания компьютерной программы, которая могла бы создать его собственную версию картины Эшера, Ленстра рассказал о своих выкладках студентам и коллегам по университету Лейдена. Де Смит, бывший студент Ленстры, принял участие в этом процессе.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Трансформация исходной сетки в искаженную сетку, пободную сетке Эшера. Две верхние сетки обладают необходимым типом симметрии, допускающим вертикальное смещение и совмещение двух одинаковых сеток. Различие между ними - поворот на 41° и масштабирование на 75%. Вертикальные транфиормации - экпоненциальное преобразование сетки на плоскость комплексных чисел. | ||
Перед тем, как применить формулу Ленстры, исследователям необходимо было получить исходное неискаженное изображение. Оригинальные наброски "Картинной галереи" Эшера находятся в частной коллекции в Коннектикуте и были недоступны группе исследователей. Йост Батенбург (Joost Batenburg), студент Лейдена, используя самостоятельно написанную компьютерную программу и сетку Эшера, восстановил неискаженное изображение квадрат за квадратом.
Это была наиболее длительная и трудоемкая задача проекта, но результатом оказалась действительно выровненное изображение. Фактически он сделал серию из четырех изображений, причем каждое следующее изображение было увеличено в 4 раза относительно центра предыдущего.
Однако, полученное изображение невозможно было использовать в качестве исходного неискаженного изображения. Одна из проблем, белое пятное в центре картины, которое по размерам несколько больше уменьшенной копии самой картины, преобразовалось в белое облако, загоряживающее часть сцены. Кроме этого, из-за того, что сетка Эшера не была конформна в полной мере, полученная картинка имела ряд художественных проблем: например, была нарушена перспектива. Решением де Смита стало привлечь художника Ханса Рихтера (Hans Richter), который полностью перерисовал четыре изображения, используя выходные изображения Батенбурга в качестве образца.
Для объединения четырех изображений Рихтера в единое изображение Батенбург, используя логарифмы, работал с группой C/Z×log 256 + Z×2pi. В этом случае умножающающаяся периодичность картины Эшера превращается в мозаичное симметричное изображение, где каждое из четырех изображений получается перемещением остальных. Таким образом четыре изображения могут быть совмещены сторона к стороне.
Преимуществом в работе с объединенным изображением является облегчение работы с полутонами серого. В идеале конечное изображение после искажения должно иметь то же самое разрешение, а это означает, что ближе к центру картины плотносить линий должна увеличиваться. Не существует прямолинейного способа выполнить такую трансформацию при помощи компьютера, поэтому для создания необходимого эффекта на конечной картине, группа исследователей попросила другого художника Жаклин Хофстра (Jacqueline Hofstra) разукрасить оттенками серого объединенное изображение.
Теперь у де Смита была логарифмическая трансформация откорректированной исходной картины. Для перехода от C/Z×log g + Z×2pi к C/Z×log 256 + Z×2pi, исследователи применили формулу трансформации Ленстры. Трансформация соответствовала повороту ячейки примерно на 41° с масштабированием в 75%.
Заключительным шагом было применение экспоненциальной к функции к последнему изображению и voilà! Получилось новое улучшенное изображение "Картинной галареи", которое можно увидеть в виде картины и в виде анимации на сайте проекта Эшера http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/.
Полученная версия картины поразительно похожа на оригинал. На первый взгляд единственным отличием кажется только наличие центральной части картины, которая теперь на загорожено белым пятном. Однако, более внимательное сравнение двух картин открывает другие различия, в частности, по краям картины некоторые линии изгибаются в противоположную сторону. Более того, некоторые параллельные линии на картине Эшера в новой версии непараллельны. Ленстра объясняет эти различия тем, что картина Эшера не является в полной мере конформной.
|
|
|
|
| Этапы проекта проекта Эшера в Университете Лейдена: Слева вверху - при помощи компьютера и искаженной сетки Эшера Йост Батенбург убрал искажение и частичное ввостановил изображение, с которого Эшер начинал работу над картиной. Сверху справа - ученые получили перерисованное художником исходное изображение, в котором была исправлена перспектива заполнено белое пятно. Используя логарифмическую функцию для преобразования мультипликативно периодичной картины Эшера в симметричную картину, обладающую свойством совмещения сама с собой по вертикали, исследователи совместили четыре изображения в одно. | |
Эшер тайный математик?
Единственная оставшаяся загадка - это сам Эшер. Понимал ли он, что он рисует? Оставил ли он в центре пятно из-за того, что не хотел бесконечно повторять рисунок или был неуверен, что будет внутри этого пятна. Так как художник умер в 1972 году эта загадка так и останется неразгаданной и будет всегда предметов домыслов.
Хансу де Рийку кажется с определенностью, что Эшер не знал, что картина периодическая, но но у него было ощущение, что ближе к центру все объекты уменьшаются до определенного предела.
В своей книге де Рийк приводит цитату из письма Эшера, в которой он демонстрирует свое безразличие к математике.
"Двое ученых профессор ван Данциг (van Dantzig) и профессор ван Вингарден (van Wijngaarden) однажды напрасно пытались меня убедить, что я изобразил поферхность Римана. Я сомневаюсь, что они правы, несмотря на тот факт, что одной из характеристик поверхности этого типа является пустота в центре. В любом случае поверхность Римана лежит далеко за границами моих теоретических знаний по математике, и я уже не говорю о неевклидовой геометрии. Я рассматриваю эту картину только с точки зрения циклического распространения без начала и конца."
Ленстра считает, что достаточно сложно рассуждать на тему хода мысли Эшера: "Я считаю более целесообразно идентифицировать Эшера с природой, а меня с физиком, который пытается создать модель природы."
После того, как о проекте была напечатана статья в New Yourk Times, один из читателей прислал свою версию завершения картины Эшера, в котором спирали зданий заканчивались точно в центре. Должно быть Эшер нашел это "отвратительным" - говорит Ленстра. - так как не был знаком с глобальной идеей.
Хотя Эшер не обладал глубоким пониманием математики, кажется, что его художественное видение сочетает в себе удивительную математическую логичность. Барт де Смит соглашается: "Мы сделали нашу версию сетки Эшера по формуле. Был лишь единственный способ сделать ее, и Эшер смоделировал ее наилучшим образом. На была не совсем верной, но почти верной, и поэтому я испытываю глубокое уважение к нему."
"И я тоже," - соглашается Ленстра.
|
| Версия "Картинной галереи" Эшера, полученная в Университете Лейдена. Наиболее значительное различие - заполненный участок картины, в том месте, где в оригинале находится белое пятное. |
Sara Robinson,
внештатный корреспондент SIAM News, Беркли, Калифорния, 2002
Перевод Влад Алексеев
2005
Вы можете также прочитать о продолжении данного проекта в Стенфордском Университете по по созданию подобной картины при помощи фотографирования в статье "'Картинная Галерея' Эшера в Стенфорде".