Частые темы математического изобразительного искусства
Robert W. Fathauer
Tessellations Company
Tempe, AZ 85281, USA
1. Введение
Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающем реалистичное изображение трехмерной сцены на плоском холсте или листе бумаги. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, и, фактически, многие художники редко или вообще никогда не используют даже использование перспективы. Однако, есть много художников, у которых математика находится в центре внимания. Несколько значительных фигур в изобразительном искусстве проложили дорогу этим индивидуумам.
Вообще-то не существует каких-либо правил или ограничений на использование различных тем в математическом в математическом искусстве. Однако, есть несколько тем, которые достаточно часто различным художниками. Среди них есть использование многогранников, тесселяций, невозможных фигур, лент Мебиуса, искаженных или необычных систем перспективы, а также фракталов.
2. Выдающиеся люди с истории математического изобразительного искусства
Голландский художник М.К. Эшер (1898-1972) в некотором роде является отцом математического искусства. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин за исключением лишь ранних работ. Большинство идей, часто используемых современными математическими художниками, были использованы Эшером, и его работы часто являются источником вдожновения для современных авторов. Надеемся, что читатель знаком с работами Эшера, которые детально рассмотрены в литературе [1]-[3]. В данном разделе перечислены другие выдающиеся личности, которые не так часто ассоциируются с математическим искусством.
Одной из частых тем математического искусства является использование многогранников, которые были изучены достаточно давно. Платон (427-348 до н.е.) описал пять правильных многогранников, которые также иногда называются телами Платона. Однако открыты они были раньше Платона, и детали открытия правильных многогранников остаются загадкой. Платон соотносил эти тела с четырьмя элементами: огонь - тетраэдр, воздух - октаэдр, вода - икосаэдр, земля - куб. Далее, он писал, что существует пятая комбинация, которой Бог ограничил Мир, это додекаэдр. Архимед (290/280-212/211 до н.э) описал 13 полуправильных многогранников. Так же как правильные многогранники называют Платоновыми, полуправильные многогранники называют архимедовыми. Записи Архимеда об этих многогранниках были утеряны вместе с фигурами многогранников. Они были открыты вновь лишь в эпоху Ренессанса, и описание всех 13 многогранников было впервые опубликовано в книге Иоганна Кеплера "Harmonices Mundi" в 1619 году, почти через две тысячи лет после смерти Архимеда.
Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci ) (1452-1519) известен своими достижениями в качестве изобретателя и художника. В его записных книгах содержатся первые из известных примеров анаморфного искусства, использующего искаженные сетки перспективы. Его наклонные анаморфные изображения представляют объекты, которые должны рассматриваться по углом, чтобы они выглядели неискаженными.
Иоганн Кеплер (Johannes Kepler) (1580-1630) более известен своими работами в астрономии, но также имел большой интерес к геометрическим тесселяциям и многогранникам. В своей книге "Harmonices Mundi" (1619) он опубликовал примеры заполнения плоскости плитками в виде правильных и звездчатых многоугольников в дополнение к многогранникам, о которых было сказано выше.
Коломан Мозер (Koloman Moser) (1868-1918) - художник-график, преподававший в Вене и работавший в стиле модернизма. Он исполнил пару тесселляций в виде рыб в период 1899-1900 гг., выглядящие вполне в стиле Эшера. Однако, несомненно, Эшер не мог знать о работах Мозера вплоть до 1964 года.
Некоторые известнейшие художники XX века активно использовали математику в искусстве. Пит Мондриан (Piet Mondriaan) (1872-1944) - голландский художник, известный своими геометрическими абстракциями; несколько его работ изображают цветные блоки, разделенные черными линиями.
Сальвадо Дали (Salvador Dali) (1904-1989) - яркий и парадоксальный испанский художник использовал математические идеи в некоторых своих картинах. На картине "Распятие" ("Crucifixion") (1954) изображен гиперкуб, а на картине "La Visage de la Guerre" (1940) изображена фрактальная последовательность уменьшающихся гротескных лиц. Он также создал несколько эротических анаморфиных изображений.
Макс Биль (Max Bill) (1908-1994) - художник-график и скульптор, обучавшийся в Баухаузе (Bauhaus), создавал скульптуры, основанные на ленте Мебиуса, многие из которых высталены в общественных местах.
Виктор Васарели (1908-1997) - художник, родившийся в Венгрии, известен как пионер и практик направления оптического искусства Оп-арт (Op Art). Он использовал окрашенные простые геометрические формы, часто объединенные в массивы, для создания эффекта движения, выпуклости или вогнутости на плоском рисунке.
Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot) (1924-...) - математик, в значительной степени ответственный за формализацию и популяризация концепции фракталов. Он открыл множество Мандельброта, наиболее известный фрактальный объект. Он также изобрел термин "фрактал" ("fractal"), полученный из латинского слова "fractus", означающий "разбитый на куски", "сломанный". О его понимании эстетического содержания фракталов говорит следующая цитата: "Может ли чистая геометрия 'человеку с улицы' показаться прекрасной? Точнее, может ли фигура, описываемая простым уравнением или правилом построения, быть воспринята человеком, не связанным с геометрией, как фигура имеющая эстетическое значение, а именно, быть декоративной, а возможно и видом искусства? Если эта геометрическая фигура - фрактал, то ответ - да."[4]
3. Общие темы в математическом искусстве
Темы наиболее часто использующиеся в математическом изобразительном искусстве включают в себя использование многогранников, тесселляций, лент Мебиуса, невозможных фигур, фракталов и искаженных перспектив. Отдельные работы часто включают в себя одновременно несколько тем. Каждая из этих тем приведена ниже с описанием и примерами использования.
Многогранники
Многогранник - это трехмерное тело, гранями которого являются многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников, у которых все стороны являются правильными многоугольниками и все вершины одинаковы. Они известны как многоугольники Платона или Платоновы тела. Также существует 13 выпуклых многогранников, гранями которых являются один, два или три правильных многоугольника, и у которых все вершины одинаковы. Они известны как тела Архимеда. Кроме этого существует бесконечное множество призм и антипризм с гранями в виде правильных многоугольников. Эшер использовал многогранники во многих своих работах, включая "Рептилии" (1949), "Двойной планетоид" (1949) и "Гравитация" (1952). [1]
Тесселляции
Тесселляции, известные также как покрытие плоскости плитками (tiling), являются коллекциями фигур, которые покрывают всю математическую плоскость, совмещаясь друг с другом без наложений и пробелов. Правильные тесселляции состоят из фигур в виде правильных многоугольников, при совмещении которых все углы имеют одинаковую форму. Существует всего три многоугольника, пригодные для использования в правильных тесселляциях. Это - правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Полуправильными тесселляциями называют такие тесселляции, в которых использованы правильные многоугольники двух или трех типов и все вершины одинаковы. Существует всего 8 полуправильных тесселляций. Вместе три правильных тесселляции и восемь полуправильных носят название Архимедовых. Тесселляции, в которых отдельные плитки являются узнаваемыми фигурами, являются одной из основных тем творчества Эшера. В его записных книгах содержатся более 130 вариантов тесселляций.[3] Он использовал их в огромном количестве своих картин, среди которых "День и ночь" (1938), серия картин "Предел круга" I-IV, и знаменитые "Метаморфозы" I-III (1937-1968). Примеры ниже - картины современных авторов Холлистера Девида (Hollister David) и Роберта Фатауэра (Robert Fathauer).
Hollister David "Семь птиц". На этой картине изображены семь птиц, две из которых изображены в негативе на фоне ландшафта города Ахо в Аризоне. Последовательно уменьшающиеся фигуры птиц совмещаются друг с другом в виде фрактальной тесселляции. Хвостовые перья каждой птицы являются разделяют конструкцию напополам, отсекая примерно треть расстояния между кончиками крыльев. Каждая меньшая птица в свою очередь делит свою область аналогичным образом. Если этот процесс продолжать до бесконечности, получится набор точек, известный как множество Кантора или Канторова пыль.
Robert Fathauer "Фрактальные рыбы - сгруппированные группы". Это компьютерная работа, распечатанная на фотобумаге. Сквозь иллюминатор видны волны, но при ближайшем рассмотрении видно, что волны являются на самом деле фрактальной тесселляцией, состоящей из рыб.
Невозможные фигуры
Невозможные фигуры - эти фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве. Эшер изобразил невозможные фигуры на своих известных картинах "Бельведер" (1958), "Восхождение и спуск" (1960) и "Водопад" (1961). Одним из примеров невозможной фигуры служит картина современного венгерского художника Иштвана Ороса (Istvan Orosz).
Istvan Orosz "Перекрестки" (1999). Репродукция гравюры по металлу. На картине изображены мосты, которые не могут существовать в трехмерном пространстве. Например, есть отражения в воде, которые не могут быть исходными мостами.
Лента Мебиуса
Лента Мебиуса - это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, перекрутив один концов полоски, а затем склеив оба конца друг с другом. Эшер изобразил ленту Мебиуса на работах "Всадники" (1946), "Лента Мебиуса II (Красные мурвьи)" (1963) и "Узлы" (1965).
Позднее, поверхности минимальной энергии стали вдохновением для многих математических художников. Брент Коллинз (Brent Collins), использует ленты Мебиуса и поверхности минимальной энергии, а также другие виды абстракций в скульптуре.
Искаженные и необычные перспективы
Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников. К ним также относится родственная область - анаморфное искусство. Эшер использовал искаженную перспективу в нескольких своих работах "Наверху и внизу" (1947), "Дом лестниц" (1951) и "Картинная галерея" (1956). Дик Термес (Dick Termes) использует шеститочечную перспективу для рисования сцен на сферах и многогранниках, как показано на примере ниже.
Dick Termes "Клетка для человека" (1978). Это разукрашенная сфера, в процессе создания которой использовалась шеститочечная перспектива. На ней изображения геометрическая структура в виде сетки, сквозь которую виден ландшафт. Три ветки проникают внутрь клетки, а также по ней ползают рептилии. В то время как одни изучают мир, другие обнаруживают себя, находящимися в клетке.
Слово анаморфный (anamorthic) сформировано из двух греческих слов "ana" (снова) и morthe (форма). К анаморфным относятся изображения настолько сильно искаженные, что разобрать их без специального зеркала бывает невозможно. Такое зеркало иногда называют анаморфоскопом. Если смотреть в анаморфоскоп, то изображение "формируется снова" в узнаваемую картину. Европейские художники раннего Ренессанса были очарованы линейными анаморфными картинами, когда вытянутая картина становилась снова нормальном при обзоре под углом. Известный премер - картина Ханса Хольбейна (Hans Holbein) "Послы" ("The Ambassadors") (1533), в которой изображен вытянутый череп. Картина может быть наклонена в верхней части лестницы так, что люди, поднимающиеся по лестнице будут напуганы изображением черепа. Анаморфные картины, для просмотра которых необходимы цилиндрические зеркала, были популярны в Европе и на Востоке в XVII-XVIII веках. Часто такие изображения несли сообщения политического протеста или были эротического содержания. Эшер не использовал в своей работе классические анаморфные зеркала, однако, в некоторых своих картинах он использовал сферические зеркала. Самая известная его работа в этом стиле "Рука с отражающей сферой" (1935). Пример ниже показывает классическое анаморфное изображение работы Иштвана Ороса (Isvan Orosz).
Istvan Orosz "Колодец" (1998). Картина "Колодец" полученая печаться с гравюры по металлу. Работа была создана к столетию со дня рождения М.К. Эшера. Эшер писал об экскурсиях в математическое искусство, как о прогулся по прекрасному саду, где ничто не повторяется. Ворота в левой части картины отделяют эшеровский математический сад, находящийся в мозге, от физического мира. В разбитом зеркале в правой части картины присутствует вид маленького городка Атрани (Atrani) на побережье Амалфи (Amalfi) в Италии. Эшер любил это место и прожил там некоторое время. Он изобразил этот город на второй и третьей картинах из серии "Метаморфозы". Если поместить цилиндрическое зеркало на место колодца, как это показано справа, то в нем, как по волшебству, появится лицо Эшера.
Фракталы
Фрактал - это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом. Фракталы формируются итерационно, многократно повторяя вычисления так, что получается объект высокой сложности с множеством мелких деталей. К сожалению, фракталы как таковые были недоступны Эшеру, потому что были формализованы и выделены в отдельную область математики лишь после его смерти. Эшер очень интересовался изображением бесконечного в пределах конечной области, в частности бесконечными тесселляциями. Он использовал сжимающиеся координатные сетки и гиперболическую геометрию для достижения этого эффекта, как показано в картинах "Предел круга" I-IV (1958-1960) и "Предел квадрата" (1964). Ниже приведены примеры современных художников Кэри Митчелл (Kerry Mitchell) и Роберта Фатауэра (Robert Fathauer).
Kerry Mitchell "Будда" - компьютерная картина основанная на множестве Мандельброта, исследованного Бенуа Мандельбротом (Benoit Mandelbrot)
Robert Fathauer "Композиция кругов" (2001) - не является вычисляемым фракталом, однако может быть получен графически, упаковывая меньшие круги в больших.
4. Заключение
Математические изобразительное искусство процветает сегодня, и многие художники создают картины в стиле Эшера и в своем собственном стиле. Эти художники работают в различных направлениях, включая скульптуру, рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и компьютерную графику. А наиболее популярными темами математического искусства остаются многогранники, тесселляции, невозможные фигуры, ленты Мебиуса, искаженные системы перспективы и фракталы.
Литература
[1] M. C. Escher - His Life and Complete Graphic Work, by F.H. Bool, J.R. Kist, J.L. Locher, and F. Wierda (Harry N. Abrams, New York, 1982).
[2] The Magic Mirror of M. C. Escher, by Bruno Ernst (Ballantine Books, New York, 1976).
[3] Visions of Symmetry - Notebooks, Periodic Drawings, and Related Works of M. C. Escher, by Doris Schattschneider (W.H. Freeman and Co., New York, 1990).
[4] "Fractals and an Art for the Sake of Science," Benoit B. Madelbrot, in The Visual Mind, ed. by Michele Emmer (MIT Press, Cambridge, 1993).
Англоязычный источник http://members.tripod.com/vismath6/fath/
Перевод Влада Алексеева