Статья из журнала "Квант"

"Невозможные" фигуры

Калейдоскоп журнала "Квант"

В 1934 году из-под кисти шведского художника Оскара Реутерсварда (Oscar Reutersvärd) вышло полотно, положившее начало новому направлению современного искусства с названием imp-art (от английских слов impossible - невозможный и art - искусство). В центре его внимания стало тонкое обыгрывание геометрических мотивов. Копия картины Реутерсварда изображена на рисунке 1. Присмотритесь внимательно: возможно ли такое расположение девяти кубов в пространстве?

Невозможный треугольник из девяти кубов
Рисунок 1.

Впоследствии Реутерсвард придумал около 2500 подобных сюжетов, изображающих необычное, парадоксальное, иллюзорное отображение трехмерного мира на двумерный холст картины. В частности, в одном из своих сюжетов число кубов он довел до минимально возможного количества: трех (рис. 2).

Невозможный треугольник из трех кубов
Рисунок 2.

В 1954 году независимо от Реутерсварда английский математик и физик Роджер Пенроуз придумал объект, названный им "Невозможный треугольник" (рис. 3). Если Реутерсвард все свои фигуры рисовал в изометрической проекции, которую он называл "японской", то в исходном треугольнике Пенроуза присутствовал некий эффект перспективы (ребра по каждой из трех сторон не были параллельны друг другу). Это еще более усиливает ощущение невозможности.

Треугольник Пенроуза
Рисунок 3.

Дальнейшие модификации "треугольника" Пенроуза в сторону увеличения количества "сторон" показаны на рисунке 4.

Невозможный квадрат   Невозможный пятиугольник
Рисунок 4.

Значительный вклад в искусство парадоксальных эффектов внесли художники Мауриц К. Эшер, Жос де Мей, Сандро дель Пре, Иштван Орос, Висенте Мевилла Сегуи и другие. Их работы вызывают интерес не только у ценителей искусства, но и у математиков и психологов.

Вот еще несколько ярких образцов из обширной и постоянно пополняющейся коллекции "невозможных" фигур (рис. 5-7).

Оскар Реутерсвард
Треугольник Пенроуза
Рисунок 5.

Влад Алексеев


Рисунок 6.

Кокичи Сугихара


Рисунок 7.

В словосочетании "невозможные" фигуры первое слово взято в кавычки. Почему? Оказывается, "невозможные" объекты в нашем трехмерном мире вполне возможны, только выглядят они совсем не так, как нам диктуют наши стереотипы восприятия чертежей. Реальный объект - прототип иллюзии может иметь разрывы, деформации, но с некоторой точки зрения это легко не заметить - и вот вам чудо во всей красе!

Скульптура невозможного треугольника в г. Перт
Рисунок 8.

Трюк с разрывом использовали художник Брайан МакКей и архитектор Ахмад Абас, создавая архитектурную достопримечательность города Перта (Австралия). Алюминиевая конструкция с ребристой структурой высотой 13.5 метров (рис. 8) с определенной точки зрения выглядит как "невозможный треугольник" Пенроуза (рис. 9). Эти фотографии специально для журнала "Квант" сделала Анна Звонкова (Австралия).

Скульптура невозможного треугольника в г. Перт
Рисунок 8.

Впрочем, не обязательно ехать в Австралию. Профессор математики из Токийского университета Кокичи Сугихара, автор оригинальных расчетных методик инженерной графики (http://www.simplex.t.u-tokyo.ac.jp/~sugihara), предлагает воплотить эту идею в бумаге. Для этого он рассчитал "выкройки" трех бумажных брусков, из которых склеивается удивительная конструкция. Сосканируйте или сделайте ксерокопию приведенных на рисунке 10 чертежей, увеличьте их с помощью подходящего редактора изображений (для этих целей, например, хорошо подходит программа Photoshop), распечатайте, а дальше призовите на помощь ножницы и клей. На склеенную модель рекомендуется смотреть одним глазом с расстояния, в 20 раз превышающего характерные размеры модели.

Развертка для склеивания невозможного треугольника
Рисунок 10.

При подготовке этой статьи были использованы материалы сайта http://im-possible.info, а также книги Кокичи Сугихары "Восхищение невозможными объектами".

В. Алексеев, А. Жуков

Данная статья была напечатана в физико-математическом журнале для школьников и студентов "Квант", N6, 2007, в рубрике "Калейдоскоп Кванта".

Обложка журнала "Квант"

Скан статьи из журнала