Бутылка Кляйна
 Изображение бутылки Кляйна, созданное в программе трехмерного моделирования. |
Бутылка Кляйна - это математическая неориентируемая поверхность, в которой неразличимы внутренняя и внешняя стороны. Бутылка Кляйна впервые была описана в 1882 году немецким математиком Феликсом Кляйном (Felix Klein). Эта поверхность тесно связана с другой загадочной поверхностью - лентой Мебиуса. Исходное название бутылки Кляйна - "Klein Fla-e-che" (Fläche = поверхность) поверхность Кляйна. Однако, в названии слово Fläche было интерпретировано как Fla-s-che (бутылка), и из-за доминирования английского языка утвердилось в математической науке, и позднее термин "бутылка Кляна" также вошел в обиход и в Германии.
Представим себе бутылку с отверстием в дне. Теперь мысленно удлиним горлышко бутылки, изогнем его в обратном направлении и направим внутрь бутылки сквозь стенку, не касаясь ее (это невозможно произвести в трехмерном пространстве), далее удлиним горлышко до дна бутылки и соединим края горлышка с краями отверстия в дне бутылки. Настоящая бутылка Кляйна в четырехмерном пространстве не пересекается сама с собой.
В отличие от реальных бутылок, поверхность Кляйна не имеет границы, где бы она прерывалась. В отличие от шара или тора, муха, ползущая по поверхности бутылки Кляйна, может попасть с внешней стороны на внутреннюю, не проходя сквозь поверхность.
Математика
 Поверхность Кляйна в виде "фигуры 8". |
Поверхность Кляйна в виде "фигуры 8", показанной на рисунке справа, может быть представлена в виде системы уравнений с параметрами, которая выглядит гораздо проще, чем для классической бутылки Кляйна.
 |
В этом случае круг самопересечения - это окружность, лежащая в плоскости XY. Положительная константа r задает радиус этой окружности. Параметр u задает угол в плоскости XY, а v - позицию относительно начала координат.
Топологически, бутылка Кляйна может быть определена как квадрат [0,1] x [0,1] со сторонами, определяемыми соотношениями (0,y) ~ (1,y) для 0 ≤ y ≤ 1 и (x,0) ~ (1-x,1) для 0 ≤ x ≤ 1, как показано на диаграмме слева.
Свойства
Если рассечь бутылку Кляйна на две половинки вдоль плоскости симметрии, то получатся две зеркальных ленты Мебиуса, одна - с разворотом вполоборота вправо, другая - с разворотом вполоборота влево. Фактически, возможно рассечь бутылку Кляйна так, что получится одна лента Мебиуса.
Иначе, бутылка Кляйна может быть представлена в виде двух лент Мебиуса, соединенных друг с другом обычной двухсторонней лентой. На рисунке ниже внутренняя поверхность этой ленты окрашена белым цветом, а внешняя - голубым.
 |
Бутылка Кляйна может быть создана из одного цилиндра. Один из краев цилиндра загибается в обратную сторону, проходит сквозь цилиндр и склеивается с другим краем. Чтобы совершить это склеивание, необходимо исказить ширину цилиндра. На рисунке ниже показано это преобразование. Для наглядности внешняя сторона цилиндра окрашена в белый цвет, а внутренняя - в зеленый.
 |
Статья создана по материалам Wikipedia и статьи "Imaging maths - Inside the Klein bottle" by Konrad Polthier
См. также Коллекция бутылок Кляйна разнообразных видов.