Приключения с невозможными фигурами
5. Невозможные кубоиды
На странице 33 мы отметили, что мультибары становятся менее эффективными по мере увеличения в них количества линий. Этот недостаток становится менее серьезным, когда общий дизайн фигуры напоминает нам какую-то знакомую форму. Наш мозг лучше распознает такие формы, подобные которым он уже видел ранее, отмечая в них небольшие изменения.
В прошлой главе мы увидели, что кубоиды вида (a), состоящие из 12 сплошных линий могут быть интерпретированы двумя различными способами. У нас нет информации, какие линии находятся ближе, а какие дальше, образуя двойственность. Мы можем немного схитрить, как, например, на рисунке (b), и оставить пробел между двумя линиями. Это небольшое изменение сообщает нашим глазам, что некоторые линии находятся ближе других. Так оказывается, что точки P и Q находятся на одном расстоянии от наблюдателя. Это невозможно! Но, согласитесь, убедительно.
Кубоид на рисунке сверху собран из цельных брусков и не содержит двойственности или невозможности. На рисунке справа изображены четыре типа углов, изображенных по отдельности. Углы типов 1 и 2 ограничивают контур фигуры, а углы 3 и 4 типа находятся в центре.
Мы можем придумать новые виды кубоидов, размещая разные типы углы в других позициях.
Данный невозможный кубоид использует угол 1-го типа шесть раз по краям и два угла 3-го типа в центре. Это образует странную форму с любопытной особенностью – видимые плоскости фигуры образуют непрерывную ленту. Попробуйте проследить за ними взглядом.
Этот невозможный кубоид принадлежит к классу фигур, у которых вертикальные грани имеют разную длину.
Данная почтовая марка, на которой изображен невозможный кубоид, была выпущена к Десятому Интернациональному Математическому Конгрессу, проводившемуся в 1981 году.
Бельведер Эшера
Некоторые невозможные кубоиды могут быть слишком странными для нашего восприятия. В них может быть слишком много противоречивых визуальных указателей, чтобы наши глаза и мозг смогли предложить удовлетворительную интерпретацию. Тогда рисунок рассыпается в бессмысленное нагромождение линий. Чтобы создать удачную фигуру, художник должен одни визуальные подсказки усилить, а другие наоборот ослабить. Тогда противоречие между возможным и невозможным позволит создать изображение одновременно интригующие и запоминающееся.
Мориц Корнелис Эшер был мастером такого искусство. Давайте внимательно рассмотрим его литографию "Бельведер" (1958). Она основана на невозможном кубоиде, но он изображен насколько искусно, что едва виден.
В данном случае невозможный кубоид длинный и узкий. Точки P и Q находятся недалеко от краев. Это оставляет относительно большое открытое пространство в центре. Самое удивительно, что точка P невидима, а Q – почти незаметна. Тем не менее, они являются наиболее важными точками для создания кубоида реального и нереального одновременно. Обрезав часть линий, как на рисунке (b), и нарушив контур кубоида добавлением аркады и балюстрады, Эшер ослабил центр. Тяжелая детализированная конструкция выше и ниже ослабленного центра усиливает конфликт. См. рис. (c). Создается впечатление, что верхняя и нижняя грани перпендикулярны друг другу, и это подчеркивается направлением, в котором смотрят женщина на первом этаже и мужчина на нижнем.
'Бельведер'
Эшер (1958)
Чтобы соединить верхнюю и нижнюю плоскости необходимо как минимум четыре колонны, две из которых находятся снаружи, не могут способствовать созданию иллюзии невозможности. Эшер использовал восемь колонн, шесть из которых формируют иллюзию. Изучим каждую из пар, образующих арку. Они с лихвой компенсируют потери, понесенные сокрытием точек P и Q. И в завершение, на картине есть еще лестница, которая находится одновременно и внутри и снаружи. Эту нелепость большинство людей замечают в первую очередь.
Сначала эта картина Эшера не была воспринята серьезно критиками и историками. Но со временем она становилась все более и более популярной, и теперь она признается одной из его основных работ, характеризующейся уникальным сюрреалистическим стилем. По манере использования невозможного кубоида в картине "Бельведер" мы можем видеть, насколько эффективно художник был способен использовать свое живое воображение для демонстрации своего удовольствия от изображения невозможности. Это удовольствие мы можем разделить вместе с ним.
Кубоиды со странными соединениями
В кубоидах, с которыми мы встречались ранее, все угловые точки были соединены друг с другом балками или линиями. Однако, мы можем сделать гораздо больше изменений в фигуре без потери общего впечатления от фигуры, как кубоида.
Мы может позволить некоторым углам быть соединенными не с другими углами, а с другими точками на другой стороне. Например, угол может быть соединен с серединой балки напротив. Мы можем поэкспериментировать с различными тенями и неожиданными перекрытиями и соединениями, некоторые из которых формируют фигуры, представляющие интерес. Ниже представлены несколько примеров фигур, которые можно создать таким способом.
Неоконченные симфонии
Если мы уберем три из двенадцати балок, образующих куб, глаза все равно продолжат воспринимать фигуру как куб. Нет никаких сложностей увидеть и воспринять на рисунке ниже плоскости в трех направлениях, расположенных под прямым углом друг к другу. Положение точки обзора такое же, как и у кубом из главы 4, которые мы могли инвертировать. Однако, здесь ощущение прочности фигуры настолько сильное, что только с величайшим трудом ощущение инверсии может быть достигнуто лишь на несколько секунд.
На следующей странице представлены две фигур, созданные на основе этой. Обратите внимание, как балки куба были модифицированы, чтобы изменилось их перекрытие и ориентация. Это обширное поле для дальнейших экспериментов, позволяющих открыть множество интересных вариаций фигур.
Невозможные окна
При создании данных рисунков я начал с рисунка обычной оконной рамы и далее экспериментировал с разными видами невозможных соединений.
Фигура на этой странице демонстрирует, что случается, когда вы попробуете совместить вид сквозь окно с невозможной фигурой. Для меня, напряжение между двумя аспектами настолько сильное, что я едва вижу саму раму вообще. Сцена природы притягивает все мое внимание, и трудно сосредоточиться на невозможности ее окружения. Продолжайте экспериментировать с различными оконными рамами и фотографиями.
